Сообщение «Самое большое число» я бы назвал даже более показательным, чем разобранный нами пост о пределе вероятности «Научный анализ псевдонауки: Почему «предел вероятности» не работает в реальной физике». В нём есть правильное физическое зерно и даже вполне разумная численная оценка, но затем автор делает серию переходов от физики к математике и обратно, которые логически не следуют друг из друга.
Мой общий вывод такой:
Начало поста — нормальная физическая оценка информационного предела. Середина — смешение физической реализуемости с математическим существованием. Конец — уже весьма свободная спекуляция, где этим смешением автор пытается объяснить сингулярности ОТО, задачу трёх тел, планковский масштаб, массу чисел, гравитацию и перспективу теории всего.
И именно эта манера рассуждения уже усиливает наши подозрения относительно систематического подхода автора.
Table of Contents
1. С чего начинается пост
Автор пишет, что Вселенная конечна, поэтому существует максимальный объём информации, который в ней можно разместить. Затем приводит: $ I_{\max}\approx4.7\times10^{122}$ бит.
После этого следуют гораздо более сильные утверждения:
- существует самое большое физически представимое число;
- числа с большим количеством значащих цифр «не существуют»;
- не существует $\pi$ и других иррациональных чисел;
- классическая математика поэтому неприменима к реальности;
- именно поэтому появляются сингулярности ОТО и проблемы задачи трёх тел;
- числа сами обладают массой и энергией;
- число примерно с $10^{76}$ значащих цифр обладает массой порядка массы Солнца;
- отсюда якобы открывается путь к энтропийной гравитации и теории всего.
Разберём по порядку.
2. Первое утверждение уже нуждается в уточнении: конечна ли Вселенная?
Автор начинает практически с:
«Да, наша Вселенная конечна».
Мы этого не знаем.
Мы знаем, что конечна наблюдаемая область Вселенной.
Но глобально пространство может быть:
- бесконечным;
- конечным и замкнутым;
- пространственно плоским, но с компактной топологией;
- значительно больше наблюдаемой области.
Наблюдения Planck очень хорошо согласуются с пространственно плоской Λ CDM-моделью, но плоскостность сама по себе не устанавливает бесконечность или конечность глобального пространства. Более того, специальные поиски Planck не обнаружили компактной топологии на масштабах порядка наблюдаемой Вселенной, но и не доказали её отсутствия на больших масштабах. arXiv
Поэтому правильная формулировка была бы:
для доступной наблюдателю области при определённых космологических предположениях можно оценить конечную информационную ёмкость.
Это существенно слабее утверждения «Вселенная конечна».
3. А вот 4.7 × 10¹²² бит — неожиданно хорошая оценка
Здесь я специально пересчитал число.
Для будущего de Sitter-предела стандартной Λ CDM-модели: $H_\Lambda=H_0\sqrt{\Omega_\Lambda}$.
Используя примерно $ H_0=67.4\ {\rm km\,s^{-1}Mpc^{-1}}, \qquad \Omega_\Lambda\simeq0.685$,
получаем радиус космологического горизонта порядка $ R_{\rm dS}\approx1.66\times10^{26}\ $м.
Энтропия горизонта в битах: $ N_{\rm bit} = \frac{A}{4l_P^2\ln2} = \frac{\pi R_{\rm dS}^{2}} {l_P^2\ln2}$.
Подстановка даёт: $ N_{\rm bit}\approx4.77\times10^{122}$.
То есть авторские $ 4.7\times10^{122} $
практически точно воспроизводятся.
Связь энтропии с информационной ёмкостью и соответствующие гравитационные информационные пределы действительно являются нормальной физикой, разработанной в том числе Бекенштейном. arXiv
Поэтому начало поста я критиковать не стал бы.
Но есть нюанс: это не буквально «объём оперативной памяти Вселенной». Это энтропия горизонта в определённой космологической модели и её информационная интерпретация.
А дальше начинается самое интересное.
4. Что означает 4.7 × 10¹²² бит?
Пусть у нас действительно имеется физическая система, способная хранить максимум $B=4.7\times10^{122}$ бит.
Тогда количество её различных битовых состояний равно $2^B$.
Максимальное целое число, которое непосредственно записывается как $B$-битное двоичное число: $N_{\max}=2^B-1$.
В десятичном представлении оно будет содержать примерно $D=B\log_{10}2$ цифр.
Получается $D\approx 4.7\times10^{122}\times0.301 \approx1.4\times10^{122}$.
Это нормальный информационный вывод.
То есть произвольное несжимаемое число, имеющее значительно больше 10122 десятичных цифр, действительно нельзя полностью выписать в такой физической системе.
Вот до этого места идею ещё можно защищать.
5. Но «невозможно полностью записать число» совершенно не означает «число не существует»
И вот здесь появляется первая фундаментальная ошибка.
Возьмём: $N=10^{10^{1000}}$.
Если начать выписывать его десятичные цифры, понадобится чудовищное количество физических носителей.
Но для точного задания этого числа достаточно короткой строки: $10^{10^{1000}}$.
Никакой информации не потеряно.
То же самое можно задать алгоритмом.
Именно поэтому утверждение автора:
«большие числа могут существовать только в сжатом архивированном виде, с потерей информации»
в общем случае неверно.
Сжатие может быть совершенно точным.
Ключевой вопрос — алгоритмическая сложность числа.
Случайная последовательность из $10^{123}$ цифр действительно почти наверняка несжимаема.
Но последовательность: $100000000000000…$
с $10^{123}$ нулями исключительно хорошо сжимается:
«1, после которой идут $10^{123}$ нулей».
И тут возникает забавная внутренняя проблема самого поста.
Автор именно число вида $10^{10^{123}}$
приводит как пример огромного числа — а оно как раз максимально хорошо сжимаемо.
6. А утверждение «число π не существует» — уже чистая категориальная ошибка
Автор пишет:
«Точно так же не существует число π и любые другие иррациональные числа».
Это из предыдущего рассуждения вообще не следует.
Проблема здесь очень глубокая и одновременно простая.
Автор смешал: число
и полную десятичную запись числа.
Это не одно и то же.
Число π можно точно определить конечной формулой, например геометрически или аналитически.
Нам не требуется хранить: 3.1415926535897932384626433832795…
до бесконечности.
Более того, π — вычислимое число: существует конечный алгоритм, который позволяет получить любое требуемое количество его цифр.
Поэтому: нельзя физически выписать все цифры π
никак не означает π не существует.
Это примерно тот же логический переход, что:
«Невозможно нарисовать идеальную окружность с бесконечной точностью, следовательно окружностей в математике не существует».
Можно придерживаться философского финитизма и отрицать актуальную бесконечность как фундаментальный математический объект. Это вполне серьёзная позиция в философии математики.
Но тогда надо сказать:
«Я принимаю финитистскую философию математики».
А не:
«голографический принцип доказал, что π не существует».
Второе из первого совершенно не следует.
7. Здесь особенно хорошо видна характерная подмена
Посмотрим на цепочку:
Физическая система не может хранить бесконечно много бит
Это вполне разумно.
Дальше:
$\Downarrow$
физически невозможно полностью выписать бесконечное десятичное представление
Тоже разумно.
Но затем:
$\Downarrow \quad \text{???}$
иррациональных чисел не существует
Вот этот переход отсутствует.
Это почти точная копия проблемы, которую мы обнаружили в №394: невозможно измерить вероятность $\Longrightarrow$ вероятность не существует.
Здесь: невозможно физически записать объект $\Longrightarrow$ объект не существует.
Один и тот же логический шаблон.
И это уже интересно с точки зрения оценки общей методологии автора.
8. «Поэтому в ОТО появляются бесконечности» — нет
Дальше автор делает ещё более сильный скачок:
классическая математика с бесконечностями не подходит реальности, «именно поэтому в ОТО вылезают бесконечности».
Никакой такой причинной связи он не вывел.
В общей теории относительности проблема сингулярностей значительно тоньше. Например, знаменитая теорема Пенроуза устанавливает при определённых физических условиях геодезическую неполноту пространства-времени. Это не утверждение:
«компьютеру Вселенной не хватило цифр для вычисления решения». APS Link
Более того, некоторые «бесконечности» вообще оказываются просто особенностями выбранных координат.
То есть математическая бесконечность в формуле может означать совершенно разные вещи.
У автора вместо этого возникает чрезвычайно простое объяснение: используем бесконечную математику $\Rightarrow$ получаем сингулярности.
Для такого утверждения нужна полноценная теория.
В посте её нет.
9. С задачей трёх тел ещё хуже
Автор пишет, что именно поэтому:
«задача трех тел не вычислима».
Это просто некорректная формулировка.
Задачу трёх тел численно решают постоянно.
Сложность заключается в том, что общего простого аналитического решения для произвольных начальных условий нет, а многие режимы хаотичны: малое изменение начальных данных способно со временем привести к большим расхождениям траекторий.
Современные исследования буквально проводят ансамбли численных интегрирований ньютоновской задачи трёх тел. arXiv
Поэтому: хаотичность ≠ невычислимость.
И тем более: нет простой аналитической формулы ≠ виновата бесконечность вещественных чисел.
Здесь автор соединяет совершенно разные математические проблемы одной придуманной причиной.
Это уже серьёзный тревожный признак.
10. Планковский масштаб тоже сюда пристёгнут без доказательства
Далее:
«физические модели ломаются на планковских масштабах» из-за неправильности классической математики.
Первая половина содержит нормальное физическое зерно.
Мы действительно ожидаем, что на экстремально малых масштабах классическая ОТО должна уступить место некоторой квантовой теории гравитации.
Но: ОТО недостаточна на планковском масштабе
совершенно не означает: причина — использование действительных чисел.
Это просто ещё одно предположение автора.
Причём он никак его не выводит.
11. Теперь самое интересное: «числа обладают массой»
Вот тут ситуация неожиданно тоньше.
Автор говорит примерно:
число с $10^{76}$ значащих цифр имеет массу Солнца.
Как буквальное утверждение: число имеет массу
Это неверно.
Математический объект массы не имеет.
Но я примерно понимаю, откуда могло взяться число порядка солнечной массы.
Для чёрной дыры массой Солнца энтропия горизонта составляет порядка $1.5\times10^{77}\ {\rm бит}$.
Это следует непосредственно из формулы Бекенштейна—Хокинга; огромная информационная ёмкость чёрных дыр и её связь с массой действительно является стандартным результатом физики чёрных дыр. arXiv
А произвольная несжимаемая десятичная строка длиной $10^{76}$
цифр содержит примерно $10^{76}\log_2 10 \approx3.32\times10^{76}$
бит.
То есть порядок величины действительно близок.
Здесь автор, вероятно, ухватил настоящую физическую связь.
Но интерпретировал её неправильно.
12. Правильное утверждение совсем другое
Можно сказать:
физическая система заданного размера и энергии имеет ограниченную информационную ёмкость.
Это нормальная физика Бекенштейна. arXiv
Можно сказать:
чёрная дыра солнечной массы имеет энтропию порядка $10^{77}$ бит.
Тоже нормально.
Но нельзя сделать: $\boxed{ 3\times10^{76}\ {\rm бит} \Rightarrow M=M_\odot }$
как универсальный закон.
Информационная граница Бекенштейна зависит и от размера системы, и от её энергии: $S\lesssim\frac{2\pi ER}{\hbar c}$.
То есть одной только величины информации недостаточно, чтобы однозначно определить массу.
А принцип Ландауэра связывает энергию с необратимым стиранием информации при температуре $T$:$E_{\min}=k_BT\ln2$
на бит, а вовсе не утверждает, что каждый хранящийся бит обладает фиксированной массой. Экспериментальные проверки именно такого смысла принципа Ландауэра существуют. arXiv
Поэтому словосочетание:
«масса числа»
физически вводит в заблуждение.
Правильно:
масса-энергия физической системы, которая реализует некоторое информационное состояние.
Это принципиально другое.
13. Поэтому вопрос автора «почему мы не включаем числа в тензор энергии-импульса?» имеет простой ответ
Потому что туда уже входит физический носитель информации.
Если число записано:
- магнитными доменами;
- состояниями транзисторов;
- фотонами;
- атомами;
- квантовыми состояниями;
энергия этих физических систем уже является частью физического содержания системы и соответственно участвует в гравитации.
Никакой дополнительной массы вида $M_{\rm total} = M_{\rm computer} + M_{\rm number}$
добавлять не требуется.
Иначе получилось бы двойное считывание одной и той же физической энергии.
14. А затем автор делает ещё один огромный прыжок: к гравитации
Из этого он переходит к собственной «энтропийной гравитации»:
сила возникает из изменения объёма информации, необходимой для описания взаимного расположения тел.
В качестве гипотезы такое предложить можно.
Но тогда нужно вывести хотя бы ньютоновский предел: $F=\frac{GMm}{r^2}$
из информационного принципа.
Затем получить уравнения Эйнштейна либо объяснить, чем новая теория от них отличается: $G_{\mu\nu} + Λ g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$.
Потом необходимо воспроизвести наблюдаемые эффекты:
- гравитационное красное смещение;
- прецессию орбит;
- отклонение света;
- гравитационное линзирование;
- гравитационные волны;
- динамику двойных пульсаров;
- чёрные дыры;
- космологию.
В посте ничего этого нет.
Есть только словесный понос мост: информация → масса → гравитация.
Это ещё не теория.
15. И наконец появляется «перспективное направление для теории всего»
Вот здесь мы возвращаемся к нашему предыдущему разговору.
Само по себе сказать:
«возможно, фундаментальная физика должна быть дискретной или финитной»
совершенно нормально.
Такие идеи действительно исследуются.
Но у автора получается: $\begin{aligned} &\text{энтропия de Sitter горизонта}\\ &\Downarrow\\ &\text{максимальная память}\\ &\Downarrow\\ &\pi\text{ не существует}\\ &\Downarrow\\ &\text{ОТО использует неправильную математику}\\ &\Downarrow\\ &\text{объясняется задача трёх тел}\\ &\Downarrow\\ &\text{числа обладают массой}\\ &\Downarrow\\ &\text{информационная гравитация}\\ &\Downarrow\\ &\text{теория всего}. \end{aligned}$
И вот это уже очень характерный стиль научной спекуляции.
16. Что в посте действительно хорошего
Чтобы оценка оставалась объективной, я бы сохранил три сильных момента.
Первое: автор знает о реальной связи гравитации, энтропии и информации. Это не придуманные им термины. Работы Бекенштейна действительно связывают информационную ёмкость физических систем с энергией, размером и гравитацией. arXiv
Второе: оценка $4.7\times10^{122}\ {\rm бит}$
получается практически правильной при принятых предположениях.
Третье: сама идея исследовать вопрос
«что изменится в фундаментальной физике, если информация физически конечна?»
совершенно легитимна.
Из этого вполне могла бы начинаться хорошая теоретическая работа.
17. Но что настораживает гораздо сильнее, чем в №394
В №394 можно было сказать: человек придумал спорный постулат $p \lt p_{\min}\Rightarrow p=0$
и рассматривает последствия.
Здесь ситуация хуже.
Автор несколько раз утверждает причинные объяснения известных фундаментальных проблем, которых он фактически не вывел:
«Именно поэтому в ОТО вылезают бесконечности».
«[Поэтому] задача трех тел не вычислима».
«Отсюда следует, что сами числа обладают энергией и массой».
«Перспективное направление для разработки теории всего».
Слова «именно поэтому», «отсюда следует» здесь особенно показательны.
Потому что именно «не следует».
Итоговая таблица
| Утверждение автора | Оценка |
|---|---|
| Физическая информационная ёмкость ограничена | имеет серьёзное физическое основание |
| Предел около $4.7\times10^{122}$ бит | численно правдоподобен при de Sitter/CDM предположениях |
| Вся Вселенная точно конечна | не установлено |
| Нельзя физически записать произвольное число с более чем $\sim10^{122}$ цифр | в определённом смысле да |
| Такие числа поэтому не существуют | не следует |
| Большие числа нельзя без потерь сжимать | неверно в общем случае |
| $\pi$ не существует | категориальная ошибка |
| Из информационного предела следует финитная математика | не следует без дополнительного философского постулата |
| Из-за обычной математики возникают сингулярности ОТО | не обосновано |
| Задача трёх тел «невычислима» по этой причине | неверно |
| Числа обладают массой | неверная интерпретация физической стоимости носителя информации |
| Число с $10^{76}$ цифр связано с масштабом $M_\odot$ | можно получить похожий порядок через энтропию ЧД, но это не масса числа |
| Отсюда получается теория гравитации | не показано |
| Это путь к теории всего | спекуляция |
Что это добавляет к нашей оценке автора
После двух сообщений — №334 и №394 — уже просматривается один и тот же методологический паттерн: $\boxed{\text{реальный физический предел}}$
↓$\boxed{\text{интересная интерпретация}}$
↓$\boxed{\text{интерпретация незаметно объявляется законом природы}}$
↓$\boxed{\text{из неё делаются фундаментальные выводы}}$
В №334: предел информации $\Rightarrow$ не существуют иррациональные числа $\Rightarrow$ масса чисел $\Rightarrow$ новая гравитация.
В №394: предел вычислений $\Rightarrow p_{\min} \Rightarrow$ обнуление малых вероятностей $\Rightarrow$ обрыв $\psi \Rightarrow$ объективный коллапс.
Вот совпадение этих структур уже гораздо интереснее отдельной ошибки. Оно показывает не случайную неточность в одном посте, а возможную особенность метода рассуждения автора: он берёт настоящий фундаментальный результат современной физики, добавляет собственный недоказанный постулат, а затем воспринимает полученную конструкцию как следствие исходной физики.
После №334 я поэтому несколько повышаю степень скепсиса по сравнению с нашей предыдущей оценкой. До окончательного ярлыка человеку всё ещё рано, но признаки систематической научной спекуляции становятся уже достаточно отчётливыми.
